已知函数f(x)=x2+alnx
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解题思路:(1)求出导数,由题意得,f′(1)=0,求出a,并检验;

(2)写出g(x)的表达式,求出导数,由于函数g(x)=f(x)+[2/x]在[1,4]上是减函数,则g′(x)≤0在[1,4]上恒成立,分离参数得,-a≥2x2-[2/x],构造h(x)=2x2-[2/x],求出最大值即可.

(1)f′(x)=2x+[a/x](x>0),

∵f(x)在x=1处取得极值,

∴f′(1)=0,即2+a=0,a=-2,

检验x=1处d导数左负右正,故为极值,

∴a=-2;

(2)g(x)=f(x)+[2/x]=x2+alnx+[2/x](x>0)

∴g′(x)=2x+

a

x-[2

x2,

由于函数g(x)=f(x)+

2/x]在[1,4]上是减函数,

则g′(x)≤0在[1,4]上恒成立,

即有2x3+ax-2≤0,

-a≥2x2-[2/x],令h(x)=2x2-[2/x],h′(x)=4x+

2

x2>0在[1,4]上成立,

即h(x)在[1,4]上递增,h(4)最大,且为[63/2].

∴-a≥[63/2],即a≤-[63/2].

点评:

本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.

考点点评: 本题考查导数的综合运用:求极值、求单调区间和最值,考查参数分离,构造函数,运用导数,求最值,属于中档题.