已知函数f（x）=x2+alnx
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解题思路：（1）求出导数，由题意得，f′（1）=0，求出a，并检验；
（2）写出g（x）的表达式，求出导数，由于函数g（x）=f（x）+[2/x]在[1，4]上是减函数，则g′（x）≤0在[1，4]上恒成立，分离参数得，-a≥2x2-[2/x]，构造h（x）=2x2-[2/x]，求出最大值即可．
（1）f′（x）=2x+[a/x]（x＞0），
∵f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0，即2+a=0，a=-2，
检验x=1处d导数左负右正，故为极值，
∴a=-2；
（2）g（x）=f（x）+[2/x]=x2+alnx+[2/x]（x＞0）
∴g′（x）=2x+
a
x-[2
x2，
由于函数g（x）=f（x）+
2/x]在[1，4]上是减函数，
则g′（x）≤0在[1，4]上恒成立，
即有2x3+ax-2≤0，
-a≥2x2-[2/x]，令h（x）=2x2-[2/x]，h′（x）=4x+
2
x2＞0在[1，4]上成立，
即h（x）在[1，4]上递增，h（4）最大，且为[63/2]．
∴-a≥[63/2]，即a≤-[63/2]．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查导数的综合运用：求极值、求单调区间和最值，考查参数分离，构造函数，运用导数，求最值，属于中档题．
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