设k为任意自然数,p为任意质数 证明如图
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设a为质数p的原根（所有质数都有原根,不清楚的话可以去百科一下）.

因为a,2a,3a,.,(p-1)a,pa也组成了一个模p的完备剩余系,

所以除去n=p的情况（不影响结果）,Σn^k 同余于 Σ(an)^k=a^k * Σn^k,即(a^k-1)Σn^k是p的倍数.

分情况讨论：

(p-1)|k时,a^k-1是p的倍数,但是由费马小定理,n^k=1(mod p),所以求和正好为Σn^k=p-1=-1(mod p).

(p-1)不|k时,a^k-1不是p的倍数（因为a是原根!）,所以Σn^k必须是p的倍数,即Σn^k=0(mod p).

因此,证明完毕.

有不明白的地方欢迎楼主追问,这个证明不会有错.

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