已知正方形ABCD边长为6,二面角M-AB-C为60°,且有MA+MB=10,当三棱锥M-ABC体积最大时,求AB-M-
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在MAB平面内,MA+MB=10,根据椭圆定义,M的轨迹是以A、B为焦点,长轴为10的椭圆,M至AB距离最大时就是短半轴长,即MA=MB=5,
即△MAB是等腰△,取AB中点N,DC中点E,
连结MN,NE,ME,
MN^2=MB^2-NB^2=25-9=16,
MN=4,
作MH⊥NE,垂足H,
∵EN⊥AB,MN⊥AB,MN∩EN=N,
∴AB⊥平面MNE,
∵MH∈平面MNE,
∴AB⊥MH,
∴MH⊥平面ABCD,
〈MNH是二面角M-AB-E的平面角,
MH=MN*sin60°=4*√3/2=2√3,
过M作直线l//AB,
∵AB⊥平面MNE,
∴l⊥平面MNE,
∴〈NME是二面角AB-l-CD的平面角,
NH=2,HE=6-2=4,
ME^2=MH^2+HE^2=28,ME=2√7,
在△MNE中,根据余弦定理,
cos
=(28+16-36)/(2*2√7*4）
=√7/14,
∴当三棱锥M-ABC体积最大时,二面角AB-M-CD余弦值为√7/14.
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