已知fx=√（mx²+8x+n）/（x²+1）的定义域为R值域为1到3闭区间,求实数m、n
2个回答

整个式子应该都在根号下吧,不然值域不可能在[1,3],解法如下：

∵fx=√（mx²+8x+n）/（x²+1）的定义域为R

∴mx²+8x+n≥0恒成立

∵Δ=8²-4*mn≤0,即mn≥16且m>0

又 fx=√（mx²+8x+n）/（x²+1）的值域为[1,3]

令gx=（mx²+8x+n）/（x²+1）则gx值域为[1,9]

gx‘= -2*[4x²+(n-m)x-4] / [(x²+1)²] ……求导

令gx‘= 0,有4x²+(n-m)x-4=0

∴Δ1=(n-m)²+64恒大于0

故方程有两根a={m-n-√[(n-m)²+64]} / 8 ,b={m-n+√[(n-m)²+64]} / 8

∴gx先单调递减再单调递增后单调递减

又 g(+∞)=g(-∞)=m

∴m不可能是gx的最大值或最小值,即1

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