若四面体对应棱的中点间的距离都相等,证明这个四边形的对棱两两垂直.
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设四面体的四顶点A、B、C、D;AB、AC、AD、BC、BD、CD的中点分别为E、F、G、H、I、J.另取一定点0,A、B、C、D对应的向量分别记作 OA、OB、OC、OD,则 0E=(OA+OB)/2,OJ=(OC+OD)/2,EJ=(OC+OD-OA-OB)/2,同理 FI=(OB+OD-OA-OC)/2,GH=(OC+OB-OA-OD)/2.又由条件有 |EJ|=|FI|=|GH|,即 JE?碕E=FI?碏I=GH?碐H,(OC+OD-OA-OB)?OC+OD-OA-OB)=(OB+OD-OA-OC)?OB+OD-OA-OC)=(OC+OB-OA-OD)?OC+OB-OA-OD),OA?琌B+OC?琌D=OA?琌C+OB?琌D=OA?琌D+OB?琌C.于是 AB?荂D=(OB-0A)?OD-OC)=(0B?D+0A?C)-(0A?D+0B?C)=0,即 AB⊥CD,同理 AC⊥BD,AD⊥BC,即对棱互相垂直.
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