已知如图圆o的两条致敬ab垂直于cdE是od的中点连接ae并延长交圆o于m连接cm交ab于f求证ob＝3of
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证明：设园O的半径为r,连接AC、BC、DM.
∵AB、CD是园O的直径且AB⊥CD
∴OA=OB=OC=OD=r,AC=r√2
∵E是OD的中点
∴DE=OE=r/2
∴根据勾股定理,得AE=r√5/2
∵∠ACD和∠AMD同弧AD
∴∠ACD=∠AMD
∵在△ACE和△DME中,
∠AEC=∠DEM,∠ACD=∠AMD
∴△ACE∽△DME
∴DM/AC=DE/AE
∴DM=DEXAC/AE=(r/2)X(r√2)/(r√5/2)=r√10/5
又∵CD是园O的直径
∴∠CMD=90°
∴根据勾股定理,得CM=3r√10/5
∵AB⊥CD,∠CMD=90°
∴△CFO∽△CDM
∴OF/OC=DM/CM
∴OF=OCXDM/CM=rX(r√10/5)/(3r√10/5)=r/3
∴OB=3OF
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