解题思路：利用分解因式求不定方程的整数解，再求m的值，进而得出答案．
假设存在这样的正整数m，由题意得：
m+100=x2①；m+129=y2②，
②-①得y2-x2=29．所以（y+x）（y-x）=29×1．
只有当x+y=29，y-x=1时，成立，即
x+y＝29
y−x＝1，
解得：
y＝15
x＝14，
所以m=x2-100=142-100=196-100=96，
∴存在正整数96，当它加上100时是一个完全平方数，当它加上129时是另一个完全平方数．
点评：
本题考点： 完全平方数．
考点点评： 此题主要考查了运用公式法因式分解以及二元一次方程组的解法，得出x+y=29，y-x=1是解题关键．
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