已知函数f(x)＝ln(x+1)−axx+2，它在原点处的切线恰为x轴．
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解题思路：（1）先根据题意求出函数的导数f′（x），再利用导数的几何意义得f′（0）=0，从而求出a值，最后写出f（x）的解析式；
（2）当x≥0时，f′（x）=
x
2
(x+1)(x+2
)
2
≥0
，利用导数与单调性的关系得f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（0）=0，即可证得结论；
（3）由（2）知，当x＞0时，ln（1+x）＞[2x/x+2]，分别令x=1，2，3，…，n．得到n个不等关系，再将以上各式相乘即得．
（1）由题意f(x)＝ln(x+1)−
ax
x+2得，
f′（x）=[1/x+1]-
2a
(x+2)2，
由于函数f(x)＝ln(x+1)−
ax
x+2在原点处的切线恰为x轴．
∴f′（0）=0，即1-[2a/4]=0，
∴a=2．
∴f（x）的解析式f（x）=ln（1+x）-[2x/x+2]，
（2）当x≥0时，f′（x）=
x2
(x+1)(x+2)2≥0，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（0）=0，
∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，
即当x＞0时，f（x）＞0．
（3）由（2）知，当x＞0时，ln（1+x）＞[2x/x+2]，
∴ln2＞[2/3]，ln3＞[4/4]，ln4＞[2×3/5]，…，lnn＞
2×(n−1)
n+1，（n≥2），
以上各式相乘，得ln2•ln3…lnn＞
2n
n(n+1)＞
2n
(n+1)2 (n∈N，n≥2)，
从而结论成立．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；对数函数图象与性质的综合应用；导数的几何意义．
考点点评： 本小题主要考查导数的几何意义、函数单调性的应用、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．
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