一、基本概念与结论
定义1 设是数域上的一个向量空间,是 上的一个线性变换,如果存在非零向量,使得,则称为的一个特征值,而称为的属于特征值的一个特征向量.
命题1 设是数域上的一个维向量空间,是的一个基,是上的一个线性变换,它在此基下的矩阵为.若是的属于特征值的一个特征向量,则是齐次线性方程组的一个非零解且有；反之,若且是齐次线性方程组的一个非零解,则是的属于特征值的一个特征向量.
定义2 设为数域上的阶矩阵,如果存在非零向量,使得,就称是矩阵的特征值,是的属于特征值的特征向量.
定义3 设矩阵,则称为矩阵的特征多项式,称为的特征矩阵,称为的特征方程.阶矩阵的特征多项式是的次多项式.在复数域上的根称为特征根.
定理1 相似矩阵具有相同的特征多项式,从而特征值也相等.反之未必成立.如与有相同的特征值,但它们不相似.
定义4 设是数域上维向量空间上的一个线性变换,称关于的任一个基下的矩阵的特征多项式为线性变换的特征多项式.
定理2 设是数域上维向量空间上的一个线性变换,则是的一个特征值的充要条件是：是的特征多项式的一个根.
定理3 设,则是的一个特征值的充要条件是：是的特征多项式的一个根.
定理4 若和都是的属于特征值的特征向量,则也是的属于特征值的特征向量（其中）.
定义5 设是矩阵的一个特征值,称齐次线性方程组的解空间为的关于特征值的特征子空间,记作.阶矩阵的特征子空间是维向量空间的子空间,它的维数为秩.
定理5 设的个特征根为的特征多项式为,则：
(1) ；
(2) ；
(3)
其中 表示由的第行与
第列的各交叉元素依次组成的行列式.
推论1 设是一个阶矩阵,则是一个可逆矩阵当且仅当的特征根都不为零.
性质1 若是矩阵的特征值,是的属于的特征向量,是一个多项式,则：
(1) 是的特征值,是的属于的特征向量,
(2) 是的特征值,是的属于的特征向量,是
任意正整数；
(3) 是的特征值,是的属于的特征向
量.
(4) 当可逆时,是的特征值,是的属于的特
征向量.
性质2 矩阵和的特征值相同.
二、例子
例1 对任一维非零向量,都有,从而是
的特征值,是单位矩阵的属于特征值的特征向量.
例2 设是阶矩阵,是齐次线性方程组的非零解,
则,从而是的特征值,非零解是的
属于特征值的特征向量.
例3 设,则对于,有：
,
从而是的特征值,非零解是的属于特征值
的特征向量.
例4 求矩阵的特征值和特征向量.
矩阵的特征方程为：,
化简得,
从而的特征值为 (二重).
（1）当时,由,
即得其基础解系为,
因此是的属于特征值的特征向量.
（2）当时,由,
即
得其基础解系为,
因此是的属于特征值的特征向量.
例5 设,
(1) 求的特征值和特征向量；
(2) 求可逆矩阵,使为对角阵.
(1) 由得的特征值为
（二重特征值）.
当时,由,
即得基础解系为,
从而的属于特征值的特征向量为.
当时,由,
即得基础解系为,
,
从而的属于特征值的特征向量为
（其中且不同时为零）.
(2)令,则,
从而是可逆矩阵；又
,
即：,从而.
例6 设上线性变换关于基下的矩阵是
,求的特征值和相应的特征向量.
矩阵的特征方程为：
它只有一个实根.
由,即
得其基础解系为,
从而这个方程组的解为,
因此的属于特征值4的特征向量为：
