特征值怎么求?做特征值的时候,会遇到一些特征多项式用行列式的变换求不到,而要化成三次方程,三次方程该怎么求解呢?[em:

特征值怎么求?

做特征值的时候,会遇到一些特征多项式用行列式的变换求不到,而要化成三次方程,三次方程该怎么求解呢?[em:15]

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一、基本概念与结论

定义1 设是数域上的一个向量空间,是 上的一个线性变换,如果存在非零向量,使得,则称为的一个特征值,而称为的属于特征值的一个特征向量.

命题1 设是数域上的一个维向量空间,是的一个基,是上的一个线性变换,它在此基下的矩阵为.若是的属于特征值的一个特征向量,则是齐次线性方程组的一个非零解且有；反之,若且是齐次线性方程组的一个非零解,则是的属于特征值的一个特征向量.

定义2 设为数域上的阶矩阵,如果存在非零向量,使得,就称是矩阵的特征值,是的属于特征值的特征向量.

定义3 设矩阵,则称为矩阵的特征多项式,称为的特征矩阵,称为的特征方程.阶矩阵的特征多项式是的次多项式.在复数域上的根称为特征根.

定理1 相似矩阵具有相同的特征多项式,从而特征值也相等.反之未必成立.如与有相同的特征值,但它们不相似.

定义4 设是数域上维向量空间上的一个线性变换,称关于的任一个基下的矩阵的特征多项式为线性变换的特征多项式.

定理2 设是数域上维向量空间上的一个线性变换,则是的一个特征值的充要条件是：是的特征多项式的一个根.

定理3 设,则是的一个特征值的充要条件是：是的特征多项式的一个根.

定理4 若和都是的属于特征值的特征向量,则也是的属于特征值的特征向量（其中）.

定义5 设是矩阵的一个特征值,称齐次线性方程组的解空间为的关于特征值的特征子空间,记作.阶矩阵的特征子空间是维向量空间的子空间,它的维数为秩.

定理5 设的个特征根为的特征多项式为,则：

(1) ；

(2) ；

(3)

其中 表示由的第行与

第列的各交叉元素依次组成的行列式.

推论1 设是一个阶矩阵,则是一个可逆矩阵当且仅当的特征根都不为零.

性质1 若是矩阵的特征值,是的属于的特征向量,是一个多项式,则：

(1) 是的特征值,是的属于的特征向量,

(2) 是的特征值,是的属于的特征向量,是

任意正整数；

(3) 是的特征值,是的属于的特征向

量.

(4) 当可逆时,是的特征值,是的属于的特

征向量.

性质2 矩阵和的特征值相同.

二、例子

例1 对任一维非零向量,都有,从而是

的特征值,是单位矩阵的属于特征值的特征向量.

例2 设是阶矩阵,是齐次线性方程组的非零解,

则,从而是的特征值,非零解是的

属于特征值的特征向量.

例3 设,则对于,有：

,

从而是的特征值,非零解是的属于特征值

的特征向量.

例4 求矩阵的特征值和特征向量.

矩阵的特征方程为：,

化简得,

从而的特征值为 (二重).

（1）当时,由,

即得其基础解系为,

因此是的属于特征值的特征向量.

（2）当时,由,

即

得其基础解系为,

因此是的属于特征值的特征向量.

例5 设,

(1) 求的特征值和特征向量；

(2) 求可逆矩阵,使为对角阵.

(1) 由得的特征值为

（二重特征值）.

当时,由,

即得基础解系为,

从而的属于特征值的特征向量为.

当时,由,

即得基础解系为,

,

从而的属于特征值的特征向量为

（其中且不同时为零）.

(2)令,则,

从而是可逆矩阵；又

,

即：,从而.

例6 设上线性变换关于基下的矩阵是

,求的特征值和相应的特征向量.

矩阵的特征方程为：

它只有一个实根.

由,即

得其基础解系为,

从而这个方程组的解为,

因此的属于特征值4的特征向量为：

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