解题思路:根据绝对值的意义化简,可得当x≤2时f(x)≤ax转化为(a+2)x≥5;当x>2时f(x)≤ax转化为(a-2)x≥-3.分别在这两种情况下根据a的取值解关于x的不等式,讨论不等式的解集是否为空集,从而得到实数a的取值范围.最后取这两种情况下a的取值范围的并集,可得满足条件的a的取值范围.
:①当x≤2时,f(x)=|2x-4|+1=5-2x,
∴不等式f(x)≤ax,即5-2x≤ax,即(a+2)x≥5.
(i)当a=-2时,不等式变为0≥5,解集为空集,不符合题意;
(ii)当a<-2时,不等式变为x≤[5/a+2],不等式的解集一定非空,符合题意;
(iii)当a>-2时,不等式变为x≥[5/a+2],可得当[5/a+2]≤2时不等式的解集非空.
解不等式[5/a+2]≤2得a≥[1/2].此时a∈(-∞,-2]∪[[1/2],+∞).
②当x>2时,f(x)=|2x-4|+1=2x-3,∴不等式f(x)≤ax,即2x-3≤ax,即(a-2)x≥-3,
(i)当a=2时,不等式变为0≥-3,解集非空,符合题意.
(ii)当a<2时,不等式变为x≤[3/2−a],可得当[3/2−a]>2时不等式的解集非空,
解不等式[3/2−a]>2,得[1/2]<a<2.
(iii)当a>2时,不等式变为x≥[3/2−a],不等式的解集一定非空,符合题意,此时a∈([1/2],+∞).
综上所述,可得满足不等式f(x)≤ax的解集非空的a的取值范围为(-∞,-2]∪[[1/2],+∞).
点评:
本题考点: 绝对值不等式.
考点点评: 本题主要考查含有绝对值的函数f(x),着重考查了绝对值的意义、不等式的解法等知识,考查了分类讨论的数学思想,属于中档题.
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