两条异面直线有几条垂线
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仅一条,是公垂线,下面是证明过程,证明两条异面直线间只有一条垂线.

反证法---证明唯一性

假设有两条公垂线,则他们都与异面直线相交(公垂线的定义)

所以两公垂线确定一个平面A(公理3)

所以4个交点共面A

因为每条异面直线都有两个点在平面A上

所以每条异面直线都在平面A上(公理2)

所以两条异面直线共面A,引出矛盾

所以假设不成立,只能有一条公垂线

(下面证明存在性)

设异面直线a、b

过b上任意一点M作直线c平行a,则b、c确定平面A(公理3)

过点M作一条直线d垂直平面A

则d与b确定一个平面B(公理3)

因为a、b是异面直线

所以a与平面B相交于一点P(异面直线的定义)

过点P在平面B内作直线垂直b,则该直线就是公垂线(公垂线的定义)

自己画图,标字母,根据图形自己组织数学符号语言作答

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