怎么证明费马点到三角形顶点距离最短?2006年4月9日 (一) 以数学方法证明费马点的存在及其特性：
Ⅰ.其实在之前就有一些有名的数学家提出相关的作 法及证明,我把文献上找到的一一列於附件说明,另外我也试著做做看是否有其他的方式可以求出费马点：
1.费马点之求法
(1) 做一三内角均小於120°之△ABC.
(2) 以 ,为一边,分别向外侧做正三角形△ABD与△ACE.
(3) 连接 ,交於P点,则P点即为所求.
2.费马点的性质：L= + + 为最小值.
首先证明由上述作法做的费马点存在-----
ㄅ.旋转△BPC,
使 与 重合（ = ）,
P点落在H处
则∠BPC=∠BHG=120°
ㄆ.又∠BHP=60°（证明在ㄇ）
∴∠BHG+∠BHP=180°
故A,P,H,G三点共线
ㄇ.∵△BHG △BPC
得 = ,=
∵∠2+∠3=60°且∠1=∠3
∴∠1+∠2=60°=∠PBH
因此△BPH为正△,得 =
知存在一点P使得 + + = + + =
再来证明所求出的点至三顶点距离最小
ㄅ.在ABC内另取一点Q异於P,
连接 、 、
ㄆ.参考步骤（1）之证法同理可证得 + + = + +
ㄇ.
故P点使 + + 为最小值
Ⅱ.一般费马点的探讨仅限於三角皆小於120°三角形内部,那麼如果讨论任一角大於或等於120°之三角形,是否能找到一点至三顶点距离和最短?
(1) △ABC的∠A＞120°,P为△ABC内部任一点
延长 至B',使 =
做∠B'AP'=∠BAP,取 =
故△B'AP' △BAP,得 = .
於是 + + = + + ,
(2) 但因∠A＞120°,故∠B'AB＜60°,
亦得∠PAP'＜60°；从而等腰三角形P'AP
中∠AP'P＞60°,故 ＞
则 + + ＞ + + ＞ + ,即 + + ＞ +
亦即：如果有一点P与A重合,则P点即是到A、B、C三点距离之和最小的点.
(3) 证得：若已知三角形有一内角大於或等於120°,则费马点即为该内角的顶点.
Ⅲ.三内角皆小於120°的三角形才存在费马点,但在日常生活中不止三角形需要找到一点到各顶点距离和最小ㄚ!也就是如果改变形状后是否能找到一点P点,使得P点至顶点距离和最小,我们以下就最简单的四边形先做讨论
(1) 已知：四边形ABCD
求作：ABCD内的P点
做法：在四边形ABCD中
∵对角线为直线
∴对角线 为A、C之间的最小距离
同理对角线 为B、D之间的最小距离
发现：、 之交点P为四边形ABCD内之一点使得 + + + 为最小值
即P点至四边形四个顶点距离和最小
(2) 证明
在四边形ABCD内另取一点P'异於P
连接 、 、 、
△P'BD、△AP'C中
+ ＞ 且 + ＞ （任两边和大於第三边）
∴ + + + ＞ + = + + +
故P点使 + + + 为最小值
(二) 运用物理学方法探讨费马点之相关理论———常听人说『数学是科学之
母』,那是否能运用科学方法验证费马点的存在性或一些费马点的性质ㄋ?参考老师的意见并思考后做了一系列有关力学的实验：
1.实验一：从三力平衡证明费马点的性质－ 、 、 所夹的三个角必为120°.
(1) 以木条为边组装正三角形,三顶点各装置一滑轮,取三条等长棉线一端各悬挂一等重黏土块W,分别由三滑轮垂下,另一端连在一起代表P点.
(2) 让重物自然垂下到达静止状态,量测∠APB、∠APC、∠BPC之角度（数据说明在表一）.
(3) 因为三重物重量相等,三条线的张力亦相同,即F1=F2=F3=W在平衡时所构成的力图（参考图A）形成的「封闭三角形（参考图B）」为正三角形,亦即该力图之三力所夹的三个角
皆为120°.
(4) 将步骤(2)之实验装置垂直置於一座标平面之上方,纪录P点座标,再和（三）求出之P点一次函数,以电脑程式计算（详细程式参考附件二）是否符合.
(5) 重复以上步骤5次,并改变三角形的形状重复操作.
2.实验二：从实验发现费马点具有最低的位能的特性.
(1) 以木条为边组装正三角形ABC置於水平面上,三顶点各装置一滑轮,取三条等长棉线一端各悬挂一等重黏土块W,分别由三滑轮垂下,由实验一已知P点为费马点.
(2) 於P点（费马点）悬挂一黏土块W,让重物自然垂直向下移动到达静止状态（装置参考图C）,量测此时P点与水平面之垂直距离,分别作三次后取平均值,高度为hP.
(3) 将P点任意移
