过N作线段NE⊥AB,交AB于E；过M作线段MF⊥BB',交BB'于F；连结EF.
∵ABCD-A'B'C'D'为正方体
∴CM=DN,CB'=BD,∠NBE=∠MB'F=45°
∴CB'-CM=B'M=BD-DN=BN (即B'M=BN)
∵NE⊥AB,MF⊥BB'
∴∠BEN=∠B'FM=90°
∴△BEN≌△B'FM (直角三角形AAS)
∴NE=MF
∵NE⊥AB,MF⊥BB',ABCD-A'B'C'D'为正方体,BC⊥AB,BC⊥BB'
∴NE‖BC,MF‖BC
∴NE‖MF
∴四边形EFMN为平行四边形
∴MN‖EF
∵EF在平面AA'B'B内
∴MN‖平面AA'B'B
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