设抛物线y平方=2px（p大于0）的焦点为F,经过F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC‖X轴.证明
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作AD//x轴交准线于D

则：AD=AF,BC=BF

设：AD=AF=a,BC=BF=b,

设,AC交x轴于M,准线交x轴于N,FM=x,MN=y

则：x/BC=AF/AB,x=ab/(a+b)

y/AD=CN/CD=BF/AB,y=AD*BF/AB=ab/(a+b)

所以,x=y

即：M是FN的中点O

所以,直线AC经过原点O

设B点坐标：(x1,y1),x1=y1^2/2p

则：C（-p/2,y1)

设A点坐标：(x2,y2),

(y2^2-y1^2)=2p(x2-x1)

Kab=(y2-y1)/(x2-x1)=2p/(y1+y2)

Lab:y=2p(x-p/2)/(y1+y2)

2px=y(y1+y2)+p^2

所以,y^2-y(y1+y2)-p^2=0

y1y2=-p^2

所以,A(y1^2/2p,y1),B(p^3/2y1^2,-p^2/y1),C(-p/2,-p^2/y1)

Koa=y1/(y1^2/2p)=2p/y1

Kco=(-p^2/y1)/(-p/2)=2p/y1

Koa=Kco

A,O,C三点共线

直线AC经过原点O

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