解题思路：（1）如图过C作CF⊥AB于F，这样把梯形分割成矩形和直角三角形，然后解直角三角形BCF，可以求出BF，CF，最后求出梯形ABCD的面积和周长；
（2）存在直线l将梯形ABCD的周长和面积同时平分，设AE=x，可以根据周长和面积平分得到关于x的方程，解方程可以求出x的值，然后结合图形的实际情况判断有三种情况，取舍不存在的情况．
（1）过C作CF⊥AB于F，
∵BC=5，cosB=[4/5]，
∴BF=4，CF=3，∴AD=3，
∴AB=6，
∴CD=AF=2，
∴梯形ABCD周长=AB+BC+CD+AD=6+5+2+3=16，
S=[1/2]（AB+CD）•AD
=[1/2]×8×3=12．
（2）令AE=x，（0≤x≤6），
分三种情况讨论：
①如图，
若l与线段AD交于点P，则AP=8-x，
S△AEP=[1/2]AE•AP=[1/2]x（8-x），
由S△AEP=[1/2]S梯形ABCD=6得：
x2-8x+12=0，
解得：x=2或6，即AE=2，AP=6时，直线l将梯形ABCD的周长和面积同时平分，直线l不存在；
当AE=6，AP=2时，直线l将梯形ABCD的周长和面积同时平分．
②如图，
若l与线段DC交于点P，
则DP=5-x，
S四边形AEPD=[1/2]（x+5-x）×3=[15/2]≠6，
此时直线l不存在．
③如图，
若l与线段BC交于点P，
则BE=6-x，
∵AD+DC+CP+AE=PB+EB，
3+2+5-BP+x=BP+6-x，
∴PB=2+x，
过P作PG⊥AB于G，则[PG/CF＝
PB
BC]，
∴PG=[3/5]（2+x），
S△PEB=[1/2]（6-x）•
3
5（2+x），
由S△PEB=6得：x2-4x+8=0，
∵△＜0，此方程没有实数根，
此时直线l不存在，
综上所述，当AE=6，AP=2时，直线l将梯形ABCD的周长和面积同时平分．
点评：
本题考点： 一次函数综合题．
考点点评： 此题比较复杂，尤其是第二问图形的变换与分类讨论，它主要考查了梯形的常用辅助线-作高线，还综合了方程，一次函数，梯形的知识，对学生的要求比较高．
