三角形abc的高ad,be所在的直线交于点m,若bm=ac,求角abc的度数
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分两种情况考虑：当∠ABC为锐角时,如图1所示,由AD垂直于BC,BE垂直于AC,利用垂直的定义得到一对直角相等,再由一对对顶角相等,得到∠CAD=∠MBD,根据一对直角相等,再由BM=AC,利用AAS得出三角形BMD与三角形ACD全等,由全等三角形对应边相等得到AD=BD,得到三角形ABD为等腰直角三角形,可得出∠ABC=45°；当∠ABC为钝角时,如图2所示,同理利用AAS得出三角形ADC与三角形DBM全等,由全等三角形对应边相等得到AD=BD,得出三角形ABD为等腰直角三角形,求出∠ABD=45°,利用邻补角定义即可求出∠ABC=135°．
分两种情况考虑：
当∠ABC为锐角时,如图1所示,
∵AD⊥DB,BE⊥AC,
∴∠MDB=∠AEM=90°,
∵∠AME=∠BMD,
∴∠CAD=∠MBD,
在△BMD和△ACD中,
∠BDM＝∠ADC＝90°
∠DBM＝∠DAC
BM＝AC
∴△BMD≌△ACD（AAS）,
∴AD=BD,即△ABD为等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°；
当∠ABC为钝角时,如图2所示,
∵BD⊥AM,BE⊥AC,
∴∠BDM=∠BEC=90°,
∵∠DBM=∠EBC,
∴∠M=∠C,
在△BMD和△ACD中,
∠BDM＝∠ADC＝90°
∠M＝∠C
BM＝AC
∴△BMD≌△ACD（AAS）,
∴AD=BD,即△ABD为等腰直角三角形,
∴∠ABD=45゜,
则∠ABC=135゜．
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