解题思路：（1）由已知条件得
n
i＝0
(
b
i
C
i
n
)＝(
2
1
−1)
C
0
n
+(
2
2
−1)
C
1
n
+(
2
3
−1)
C
2
n
+…+(
2
n+1
−1)
C
n
n
，由此利用分组求和法能求出结果．
（2）由已知条件得
n
i＝0
(
b
i
C
i
n
)＝1•2•
C
1
n
+2•3•
C
2
n
+3•4•
C
3
n
+…+n(n+1)
C
n
n
，由此利用导数性质能求出结果．
（1）∵an=2n，bn=
n
i＝0ai，
∴bn＝20+21+22+…+2n＝2n+1−1，
∴
n
i＝0(bi
Cin)＝(21−1)
C0n+(22−1)
C1n+(23−1)
C2n+…+(2n+1−1)
Cnn
=21•
C0n−1•
C0n+22•
C1n−1•
C1n+23•
C2n−1•
C2n+…+2n+1•
Cnn−1•
Cnn
=2(
C0n+21•
C1n+22•
C2n+…+2n•
Cnn)−(
C0n+
C1n+
C2n+…+
Cnn)
=2（1+2）n-2n=2•3n-2n． …（4分）
（2）∵an=2n，bn=
n
i＝0ai，
∴bn=0+2+4+…+2n=n（n+1），
∴
n
i＝0(bi
Cin)＝1•2•
C1n+2•3•
C2n+3•4•
C3n+…+n(n+1)
Cnn，
(1+x)n＝
C0n+
C1nx+
C2nx2+
C3nx3+…+
Cnnxn，
两边同乘以x，则有x(1+x)n＝
C0nx+
C1nx2+
C2nx3+
C3nx4+…+
Cnnxn+1，
两边求导，左边=（1+x）n+nx（1+x）n-1，
右边=
C0n+2
C1nx+3
C2nx2+4
C3nx3+…+(n+1)
Cnnxn，
即(1+x)n+nx(1+x)n−1＝
C0n+2
C1nx+3
C2nx2+4
C3nx3+…+(n+1)
Cnnxn（*），
对（*）式两边再求导，
得2n(1+x)n−1+n(n−1)x(1+x)n−2＝2•1•
C1n+3•2•
C2nx+4•3•
C3nx2+…+(n+1)n
Cnnxn−1
取x=1，则有(n2+3n)•2n−2＝1•2•
C1n+2•3•
C2n+3•4•
C3n+…+n(n+1)
Cnn
∴
n
i＝1(bi
Cin)＝(n2+3n)•2n−2．…（10分）
点评：
本题考点： 数列的求和．
考点点评： 本题考查数列的前n项和的求法，综合性强，难度大，计算繁琐，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用．
