题目 很经典的哦 祝你学习愉快! 已知一个数列｛an｝的各项是1或3,首项为1,且在第K个1和第K+1个1之间有2K-1个3,即1,3,1,3,3,3,1,3,3,3,3,3,1,……记该数列的前n项的和为Sn （1）试问第2006个1为该数列的第几项?（2）求a2006（3）求该数列的前2006项的和S2006 解法 （1）先求出数列中“1”的位置的通项式 ∵1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13. 1,3,1,3,3,3,1,3,3, 3, 3, 3, 1,…… 知道, 第1个1时,其为数列的第1项； 0=2(1-1) 第2个1时,其为数列的第3项； 3-1=2=2(2-1) 第3个1时,其为数列的第7项； 7-3=4=2(3-1) 第4个1时,其为数列的第13项； 13-7=6=2(4-1) 第5个1时,其为数列的第21项； 21-13=8=2(5-1) 第6个1时,其为数列的第31项； 31-21=10=2(6-1) 第7个1时,其为数列的第43项； 43-31=12=2(7-1) . 第k个1时,其为数列的第43项； ?-?=2(k-1) 易知道：(A)0、2、4、6、8、10、12...是等差数列,通项=2(k-1) (B)1、3、7、13、21、31、43.是由一个等差数列2（k-1）和一个递推数列复合而成.其递推关系为： B（k)=B(k-1)+2(k-1); 用斜加法：求得“1”的位置通项公式： B（n)=n-n+1; 所以题目：第2006个1为该数列的: B(2006)=2006-2006+1=4022031; 即：第2006个1为该数列的第4022031项； （2）先判断a2006的位置是否是“1”的位置,即 （反证法）假设a2006的位置是“1”的位置, 那么2006就必须满足： n-n+1=2006有正整数解; ==>n-n-2005=0 △=(-1)-4*1*(-2005)=8026≈89.588； 所以n没有正整数解, 所以假设错误, 所以a2006的位置不是“1”的位置, 所以a2006的位置是“3”的位置,即有a2006=3； (另一方法：试算判断法： 第45个1时,其在数列的位置B(45)=45-45+1=1981项； 第46个1时,其在数列的位置B(46)=46-46+1=2071项； 又∵1981＜2006＜2071,所以a2006项不是“1”,所以a2006="3";) （3)∵第45个1时,其为数列的B(45)=45-45+1=1981项； 第46个1时,其为数列的B(46)=46-46+1=2071项； 又∵1981＜2006＜2071 ∴ a2006的位置在第45个“1”和第46个“1”之间； ∴ 数列的S2006=45*1+[1+3+...+(2*（45-1）-1）]*3+(2006-1981)*3 =45*1+(1+2*44-1)*44/2*3+25*3 =45+1936*3+75 =5928;
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