已知平面上两定点M（0，-2）、N（0，2），P为一动点，满足 . MP - . MN =| . PN |-| . MN
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（I）设P（x，y）．
由已知
MP =（x，y+2），
MN =（0，4），
PN =（-x，2-y），
MP •
MN =4y+8．
|
PN |•|
MN |=4x 2+（y-2） 2（3分）
∵
MP •
MN =|
PN |•|
MN |
∴4y+8=4x 2+（y-2） 2整理，得x 2=8y
即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为x 2=8y．（6分）
（II）由已知N（0，2）．
即得（-x 1，2-y 1）=λ（x 2，y 2-2）
-x1=λx2
2-y1=λ（y2-2） 设A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）．由
AN =λ
NB
即得（-x 1，2-y 1）=λ（x 2，y 2-2），
∴-x 1=λx 2…（1），
2-y 1=λ（y 2-2）…（2）
将（1）式两边平方并把x 1 2=8y 1，x 2 2=8y 2代入得y 1=λy 2（3分）
解得 y 1=2λ，y 2=
2
λ ，
且有x 1x 2=-λx 2 2=-8λy 2=-16．（8分）
抛物线方程为 y=18x 2，求导得y′=
1
4 x．
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 y=
1
4 x 1（x-x 1）+y 1，y=
1
4 x 2（x-x 2）+y 2，
即y=
1
4 x 1x-
1
8 x 1 2，y=
1
4 x 2x-
1
8 x 2 2
解出两条切线的交点Q的坐标为 （
x 1 + x 2
2 ，
x 1 x 2
8 ）=（
x 1 + x 2
2 ，-2）（11分）
所以
NQ •
AB =（
x 1 + x 2
2 ，-4）•（x 2-x 1，y 1-y 2）
=
1
2 （x 2 2-x 1 2）-4（
1
8 x 2 2-
1
8 x 1 2）=0
所以
.
NQ •
.
AB 为定值，其值为0．（13分）
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