求微分方程y″+y′-2y=xex+sin2x的通解．
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解题思路：首先，将齐次方程的特征根通解求出来；然后将微分方程y″+y′-2y=xex+sin2x拆开成微分方程y″+y′-2y=xex和微分方程y″+y′-2y=sin2x，分别求这两者的特解；再根据非齐次的解等于齐次的通解加上非齐次的特解求出来．
由于特征方程为λ2+λ-2=0，解得特征根为λ1=-2，λ2=1，
∴y″+y′-2y=0的通解为y=C1e-2x+C2ex．
设y″+y′-2y=xex（*）
y″+y′-2y=sin2x （**）
由于（*）的f（x）=xex，λ=1是特征根，故令（*）的特解为y1（x）=（ax2+bx）ex，
代入（*）得a＝
1
6，b＝−
1
9，
由y″+y′-2y=sin2x得
y″+y′−2y＝
1
2(1−cos2x)，
显然y″+y′−2y＝
1
2，有特解y＝−
1
4，
对y″+y′−2y＝−
1
2cos2x，由于f(x)＝−
1
2cos2x，故
令其特解为y2（x）=Acos2x+Bsin2x，代入得A＝
3
40，B＝−
1
40，则
y2(x)＝−
1
4+
3
40cos2x−
1
40sin2x，所以原方程的通解为
y＝C1e−2x+C2ex+(
1
6x2−
x
9)ex+(−
1
4+
3
40cos2x−
1
40sin2x)
点评：
本题考点： 二阶常系数非齐次线性微分方程求解．
考点点评： 此题考查二阶非齐次线性微分方程的求解，需要注意的是，求特解时，将其拆开成两个微分方程的形式，分别求．
