∫dx/x(a+bx)及∫dx/x(a+bx)^2及∫dx/x(a+bx^2)?
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∫dx/x(a+bx)
1/x(a+bx)={(1/x)-[b/(a+bx)]}/a
所以∫dx/x(a+bx)=[∫(1/x)dx-b∫(1/a+bx)dx]/a
=(ln|x|)/a-b∫(1/a+bx)d(a+bx)]/ab
=[(ln|x|)/a]-[(ln|a+bx|)/a]
=[ln|x/(a+bx)|]/a +C
∫dx/x(a+bx)^2
用有理函数积分法,
令1/x(a+bx)^2=(A/x)+[B/(a+bx)]+[C/(a+bx)^2]
将等式右边通分后,x的2次幂和x的一次幂系数均为零,常数项为1.具体题目时,a和b是已知的,就能将A,B,C分别解出.一次将等式右边三项分别积分即可.
∫(A/x)dx=Aln|x| +C
∫[B/(a+bx)]dx=B∫[d(a+bx)/(a+bx)]]/b
=(Bln|a+bx|)/b +C
∫[C/(a+bx)^2]dx=C{∫[d(a+bx)/(a+bx)^2]}/b
=-C/b(a+bx) +C
∫dx/x(a+bx^2)
d(x^2)=2xdx,则dx=d(x^2)/2x
所以∫dx/x(a+bx^2)=∫d(x^2)/[x(a+bx^2)*2x]
=∫d(x^2)/[2x^2(a+bx^2)]
令x^2=t,有d(x^2)=dt
所以∫dx/x(a+bx^2)=∫dt/2t(a+bt)=[∫dt/t(a+bt)]/2
转化成了第一个问题,就不再赘述了
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