已知函数f﹙x﹚=lnx-1/2ax²+﹙1-a﹚x ﹙1﹚讨论f﹙x﹚的单调性
1个回答
①函数f（x）的定义域为（0,+∞）,
∵f（x）=lnx-ax2+（2-a）x,
∴f'（x）=
1
x
−2ax+2−a=
−2ax2+(2−a)x+1
x
=−
(2x+1)(ax−1)
x
．
（1）若a＞0,则由f′（x）=0,得x=
1
a
,
当x∈（0,
1
a
）时,f′（x）＞0,此时函数单调递增．
当x∈（
1
a
,+∞）时,f′（x）＜0,此时函数单调递减．
（2）当a≤0时,f'（x）＞0恒
成立,
因此f（x）在（0,+∞）单调递增．
②设函数g（x）=f（
1
a
+x）-f（
1
a
-x）,则g（x）=ln（1+ax）-ln（1-ax）-2ax,
g′（x）=
a
1+ax
+
a
1−ax
−2a＝
2a3x2
1−a2x2
,
当x∈（0,
1
a
）时,g′（x）＞0,而g（0）=0,
∴g（x）＞0,
故当0＜x＜
1
a
时,f（
1
a
+x）＞f（
1
a
-x）．
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