正四面体ABCD内接于半径为R的球O（即四个顶点在球面上）,其内切球半径为r,（1）.证明R＝3r （2）用R表
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如图,正四面体P-ABC内接于球O,O的半径为R
过点P作面ABC的垂线,垂足为O'
则,O'为等边△ABC所在圆面的圆心,且球心O在PO'上
设正四面体P-ABC的棱长为a,OO'=x
那么,BO'=a*(√3/2)*(2/3)=(√3/3)a
PO=BO=R,PB=a
那么,由勾股定理有：
BO^2=BO'^2+OO'^2 ===> R^2=(a^2/3)+x^2
===> R^2-x^2=a^2/3
===> (R+x)*(R-x)=a^2/3……………………………………（1）
PB^2=PO'^2+BO'^2 ===> a^2=(R+x)^2+(a^2/3)
===> (R+x)^2=(2/3)a^2
===> R+x=(√6/3)a
代入(1)有：(√6/3)a*(R-x)=a^2/3
===> R-x=(√6/6)a
所以：2R=(√6/3)a+(√6/6)a=(√6/2)a
所以,a=(2√6/3)R.
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