求教对勾函数的一条性质.对勾函数y＝ax＋b/x图像上任一点的切线与它的两条渐近线所围成的三角形面积,用a、b表示,其中
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数学之美团为你解答

为了方便说明问题,只对x>0部分进行计算.

函数f(x)=ax+b/x的导数,f'(x)=a-b/x²,可以看出,当x趋于无穷大时,f'(x)趋于a,而函数又是奇函数,说明函数的2条渐近线一条是y轴,另一条是y=ax(关于渐近线就不详细推导了)

令(t,at+b/t)是函数上的一点,函数在该点的导数是a-b/t²,设改点的切线方程是y=kx+h

则k=a-b/t²,即方程为y=(a-b/t²)x+h,将点(t,at+b/t)坐标代入方程得：h=2b/t

所以切线方程是：y=(a-b/t²)x+2b/t,切线方程与y轴的交点为(0,2b/t)

解y=(a-b/t²)x+2b/t与渐近线y=ax组成的方程组可得交点坐标为(2t,2at)

而所求三角形的面积为：S=(1/2)*(2b/t)*(2t)=2b,所以该面积与a的取值无关

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