解题思路：（I）证法1：根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面ABC里面找到一条直线与DE平行即可，过DE构造平行四边形，使其与平面ABC相交，则可得DE与交线平行，所以进一步可得DE∥平面ABC；
证法2：根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面ABC里面找到一条直线与DE平行即可，因为D、E均为中点，所以构造平行线的时候可以考虑一下构造“中位线”．
（II）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直．有时候题目中没有现成的直线与直线垂直，需要我们先通过直线与平面垂直去转化一下，如欲证B1F⊥AF，可以先证明AF⊥平面B1BCC1；利用勾股定理，易证明B1F⊥FE；
（III）过F做FM⊥AE于点M，连接B1M，说明∠B1MF为二面角B1-AE-F的平面角，然后求二面角B1-AE-F的余弦值．
证明：（I）方法1：设G是AB的中点，连接DG，
∵D为B1A的中点，
∴DG∥EC，且DG=[1/2]EC，
又∵E为C1C的中点，
∴四边形DECG是平行四边形，
∴DE∥GC，
又∵DE⊄平面ABC，GC⊂平面ABC，
∴DE∥平面ABC．
方法2：连接A1B、A1E，并延长A1E交AC的延长线于点P，连接BP．
由E为C1C的中点，A1C1∥CP，
可证A1E=EP，
∵D、E是A1B、A1P的中点，
∴DE∥BP，
又∵BP⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，
∴DE∥平面ABC，
（II）∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点，
∴BC⊥AF，
又∵B1B⊥平面ABC，可证B1F⊥AF，
∵AB=AA1=2，
∴B1F=
6，EF=
3，B1E=3，
∴B1F2+EF2=B1E2，
∴B1F⊥FE，
∵AF∩FE=F，
∴B1F⊥平面AEF
（III）过F做FM⊥AE于点M，连接B1M，
∵B1F⊥平面AEF，由三垂线定理可证B1M⊥AE，
∴∠B1MF为二面角B1-AE-F的平面角，
C1C⊥平面ABC，AF⊥FC，可证EF⊥AF，
在Rt△AEF中，可求FM=
10
5，
在Rt△B1FM中，∠B1FM=90°，
∴cos∠B1MF=
6
6，
∴二面角B1-AE-F的余弦值为
6
6．
点评：
本题考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
考点点评： 本题考查直线与平面平行的判定，二面角的求法，直线与平面的垂直的判定，考查逻辑思维能力 空间想象能力，是中档题．
