连续型随机变量x的一切可能取值[a,b]内,其密度函数为f(x).求证:4D(X)
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首先证明E(X-C)^2,当C=EX时最小,最小值为D(X)

E(X-C)^2=E[(X-EX)+(EX-C)]^2

=D(X)+2(EX-C)E(X-EX)+(EX-C)^2

=D(X)+(EX-C)^2

故当C=EX时,E(X-C)^2最小,最小值为D(X)

D(X)=E(X-EX)^2

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