在平面直角坐标系xOy中,已点A(6,0),点B(0,6),动点C在以半径为3的⊙O上,连接OC,过D作OD⊥OC,OD
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(1) 45°或135°;(2) 当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时,△ABC的面积最大,最大值为9

+18.(3) (-

),(

);是,理由见解析.

试题分析:(1)根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形,则∠OBA=45°,由于OC∥AB,所以当C点在y轴左侧时,有∠BOC=∠OBA=45°;当C点在y轴右侧时,有∠BOC=180°-∠OBA=135°,从而得出答案;

(2)由△OAB为等腰直角三角形得AB=

OA=6

,根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时,△ABC的面积最大,过O点作OE⊥AB于E,OE的反向延长线交⊙O于C,此时C点到AB的距离的最大值为CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE,然后计算△ABC的面积;

(3)①过C点作CF⊥x轴于F,易证Rt△OCF∽Rt△AOD,则

,即

,得出CF=

,再利用勾股定理计算出OF=

,则可得到C点坐标;

②由于OC=3,OF=

,得出∠COF=30°,则可得到BOC=60°,∠AOD=60°,然后根据“SAS”判断△BOC≌△AOD,从而得出∠BCO=∠ADO=90°,再根据切线的判定定理可确定直线BC为⊙O的切线.

(1)∵点A(6,0),点B(0,6),

∴OA=OB=6,

∴△OAB为等腰直角三角形,

∴∠OBA=45°,

∵OC∥AB,

∴当C点在y轴左侧时,∠BOC=∠OBA=45°,

当C点在y轴右侧时,∠BOC=180°-∠OBA=135°,

∴∠OBA=45°或135°;

(2)∵△OAB为等腰直角三角形,

∴AB=

OA=6

∴当点C到AB的距离最大时,△ABC的面积最大,

过O点作OE⊥AB于E,OE的反向延长线交⊙O于C,

如图:此时C点到AB的距离最大值为CE的长,

∵△OAB为等腰直角三角形,

∴OE=

AB=3

∴CE=OC+OE=3+3

△ABC的面积=

CE•AB=

×(3+3

)×6

=9

+18,

当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时,△ABC的面积最大,最大值为9

+18.

(3)如图:当C在第二象限时,过点C作CF⊥x轴于F,则∠CFO=90°,

∵OC∥AD,

∴∠COF=∠DAO,

∴∠ADO=∠COD=90°,

∴∠ADO=∠CFO,

∴△OCF∽△AOD,

,即

解得:CF=

在Rt△OCF中,OF=

∴C点的坐标为(-

),

同理,当C在第一象限时,C点的坐标是(

),

∴C点的坐标为(-

),(

);

②直线BC为为⊙O的切线,理由如下:

如图:在Rt△OCF中,OC=3,CF=

∴sin∠COF=

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