在平面直角坐标系xOy中,已点A(6,0),点B(0,6),动点C在以半径为3的⊙O上,连接OC,过D作OD⊥OC,OD与⊙O相交于点D(其中点C、D按顺时针方向排列),连接AB.
(1)当OC//AB时,∠BOC的度数为
(2)连接AC、BC,当点C在⊙O上运动到什么位置时,△ABC的面积最大?并求出△ABC的面积的最大值.
(3)连接AD,当OC//AD时,
①求出点C的坐标;
②直线BC是否为⊙O的切线?请作出判断,并说明理由.
(1) 45°或135°;(2) 当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时,△ABC的面积最大,最大值为9
+18.(3) (-
,
),(
,
);是,理由见解析.
试题分析:(1)根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形,则∠OBA=45°,由于OC∥AB,所以当C点在y轴左侧时,有∠BOC=∠OBA=45°;当C点在y轴右侧时,有∠BOC=180°-∠OBA=135°,从而得出答案;
(2)由△OAB为等腰直角三角形得AB=
OA=6
,根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时,△ABC的面积最大,过O点作OE⊥AB于E,OE的反向延长线交⊙O于C,此时C点到AB的距离的最大值为CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE,然后计算△ABC的面积;
(3)①过C点作CF⊥x轴于F,易证Rt△OCF∽Rt△AOD,则
,即
,得出CF=
,再利用勾股定理计算出OF=
,则可得到C点坐标;
②由于OC=3,OF=
,得出∠COF=30°,则可得到BOC=60°,∠AOD=60°,然后根据“SAS”判断△BOC≌△AOD,从而得出∠BCO=∠ADO=90°,再根据切线的判定定理可确定直线BC为⊙O的切线.
(1)∵点A(6,0),点B(0,6),
∴OA=OB=6,
∴△OAB为等腰直角三角形,
∴∠OBA=45°,
∵OC∥AB,
∴当C点在y轴左侧时,∠BOC=∠OBA=45°,
当C点在y轴右侧时,∠BOC=180°-∠OBA=135°,
∴∠OBA=45°或135°;
(2)∵△OAB为等腰直角三角形,
∴AB=
OA=6
,
∴当点C到AB的距离最大时,△ABC的面积最大,
过O点作OE⊥AB于E,OE的反向延长线交⊙O于C,
如图:此时C点到AB的距离最大值为CE的长,
∵△OAB为等腰直角三角形,
∴OE=
AB=3
,
∴CE=OC+OE=3+3
,
△ABC的面积=
CE•AB=
×(3+3
)×6
=9
+18,
当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时,△ABC的面积最大,最大值为9
+18.
(3)如图:当C在第二象限时,过点C作CF⊥x轴于F,则∠CFO=90°,
∵OC∥AD,
∴∠COF=∠DAO,
∴∠ADO=∠COD=90°,
∴∠ADO=∠CFO,
∴△OCF∽△AOD,
∴
,即
,
解得:CF=
,
在Rt△OCF中,OF=
,
∴C点的坐标为(-
,
),
同理,当C在第一象限时,C点的坐标是(
,
),
∴C点的坐标为(-
,
),(
,
);
②直线BC为为⊙O的切线,理由如下:
如图:在Rt△OCF中,OC=3,CF=
,
∴sin∠COF=
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