（2014•青浦区一模）设集合M＝{f(x)|x∈(0，+∞)，f(x)＝f(1x)}．
1个回答
解题思路：（1）验证函数的表达式是否满足f（x）=f（[1/x]）．从而得到结论．
（2）利用函数f（x）的解析式，求出g（
x+
1
x
）的表达式，然后判断即可．
（3）通过函数的零点，讨论当x＞0时，则g（
x+
1
x
），当0＜x＜1时，g（
x+
1
x
）当x＞1时，g（
x+
1
x
）的表达式是否满足题意即可．
证明：（1）由f(x)＝
x
1+x2(x＞0)可得，f（[1/x]）=
1
x
1+
1
x2=[x
1+x2，…3分
因此f（x）=f（
1/x]）．又x＞0，∴f（x）∈M．…4分
（2）由f（x）=[x
1+x2=
1
x+
1/x]，
设函数g（x）=[1/x]（x≥2），当x＞0时，x+
1
x≥2
x•
1
x=2．…8分
则g（x+
1
x）=[1
x+
1/x]=[x
1+x2=f（x）．…10分
即存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得等式g（x+
1/x]）=f（x）对任意x＞0成立．
（3）当x＞0时，设x+
1
x=t，则t≥2，
可得x2-tx+1=0，解得x=
t±
t2−4
2，…12分
设函数g（x）=f（
t+
点评：
本题考点： 抽象函数及其应用；函数解析式的求解及常用方法．
考点点评： 本题考查函数性质的综合运用，考查学生对探究性理解水平，考查分析问题解决问题的能力．
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