正整数a,b均小于500,且满足 a2+(a+1)2=b2 ,则这样的数对 (a,b) 共有 对．
1个回答
a^2+(a+1)^2=b^2
＝》(2a+1)^2+1=2b^2
设x=2a+1,y=b那么
x^2-2y^2=-1
这是一个pell方程,基础解为(1,1)
所有解由(1+√2)^(2n+1)表出
所以可以求出在(0,1000)的解为
n=1=>(7,5)=>a=3,b=5
n=2=>(41,29)=>a=20,b=29
n=3=>(239,169)=>a=119,b=169
n=4=>(1393,985)=>a=696,b=985 不合题意
Pell 方程
X^2-d*Y^2=1
若d不是完全平方数,则该方程有无穷多组（X,Y）解
用一个具体例子来说明：x^2-2y^2=1,知道基本解x=3,y=2.
(3+2√2)^0=1+0√2,x=±1,y=0是方程的解,
(3+2√2)^1=3+2√2,x=±3,y=±2是方程的解,
(3+2√2)^2=17+12√2,x=±17,y=±12是方程的解,
(3+2√2)^3=99+70√2,x=±99,y=±70是方程的解,
(3+2√2)^4=577+408√2,x=±577,y=±408是方程的解,
.
n取负整数时,得到的也是这些解,这些就是方程的所有解!
：(3+2√2)^3=99+70√2,
(3+2√2)^4=577+408√2
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