在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,E是AB的中点,连结CE并延长交AD于F.
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原题是
如图10,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,E是AB的中点,连结CE并延长交AD于F.
（1）求证：① △AEF≌△BEC；② 四边形BCFD是平行四边形；
（2）如图11,将四边形ACBD折叠,使D与C重合,HK为折痕,求sin∠ACH的值.
（1）① 在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,
∴ ∠ABC=60°.
在等边△ABD中,∠BAD=60°,
∴ ∠BAD=∠ABC=60° .
∵ E为AB的中点,
∴ AE=BE.
又∵ ∠AEF=∠BEC ,
∴ △AEF≌△BEC .
② 在△ABC中,∠ACB=90°,E为AB的中点
∴ CE= AB,BE= AB,
∴ ∠BCE=∠EBC=60° .
又∵ △AEF≌△BEC,
∴ ∠AFE=∠BCE=60° .
又∵ ∠D=60°,
∴ ∠AFE=∠D=60° .
∴ FC‖BD
又∵ ∠BAD=∠ABC=60°,
∴ AD‖BC,即FD‖BC
∴ 四边形BCFD是平行四边形.
（2）
∵∠BAD=60°,∠CAB=30°
∴∠CAH=90°
在Rt△ABC中,∠CAB=30°,设BC =a
∴ AB=2BC=2a,
∴ AD=AB=2a.
设AH = x ,则 HC=HD=AD-AH=2a-x.
在Rt△ABC中,AC^2=(2a)^2-a^2=3a^2.
在Rt△ACH中,AH^2+AC^2=HC^2,
即x^2+3a^2=(2a-x)^2.
解得 x=a/4,即AH=a/4.
∴ HC=2a-x=2a-a/4= 7a/4
∴ AH/HC=(a/4)/ (7a/4)=1/7
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