关于三角形的题求解 在三角形ABC中已知∠A ∠B ∠C成等差数列,且sinAsinC=〔cosB〕的平方.三角形ABC
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设A,B,C的对边分别为a,b,c

A,B,C成等差数列

设等差中项B=kπ

那么A+B+C=3kπ=π,得k=1/3

B=π/3

设A=B-α,C=B+α

sinAsinC=(cosB)^2

sin(B-α)sin(B+α)=1/2+cos2B/2

-(cos2B-cos2α)/2=1/2+cos2B/2

得cos2α=1+2cos2B=1+2cos(2π/3)=0

则2α=π/2,即α=π/4

A=B-α=π/3-π/4=π/12

C=B+α=π/3+π/4=7π/12

SΔABC=acsinB/2=acsin(π/3)/2=√3ac/4=4√3

得ac=16...①

sinA=sin(π/12)

sinC=sin(7π/12)=sin(π/2+π/12)=cos(π/12)=cosA

sinA/sinC=-sinA/cosA=tanA

tanA=(1-cos2A)/sin2A=[1-cos(π/6)]/sin(π/6)=2-√3

又根据正弦定理

sinA/sinC=a/c

所以a/c=2-√3...②

由①,②解得a=4√(2-√3),c=4√(2+√3)

根据余弦定理

b=√(a^2+c^2-2accosB)

=√{[4√(2-√3)]^2+[4√(2+√3)]^2-2[4√(2-√3)][4√(2+√3)]cos(π/3)}

=4√3

三角形边长分别为4√(2-√3),4√3,4√(2+√3)

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