一个证明,pi为圆周率,n为奇数1.设w为n次单位根（w=cos 2pi/n+i*sin 2pi/n).求证：（1+w)

一个证明,

pi为圆周率,n为奇数

1.设w为n次单位根（w=cos 2pi/n+i*sin 2pi/n).

求证：（1+w)(1+w^2)...(1+w^n)=2

2.设角a=pi/n.

求：1.cos a*cos2a*...*cos a(n-1)/2

2.cos2a*cos4a*...*cos(n-1)a

3.t为任意角,n为正整数,a=2pi/n.求证

cos^2 t+cos^2 (t+a)+cos^2 （t+2a)+...+cos^2 (t+(n-1)a)=n/2

4.给定不共线三点ABC,求证：

（1）该平面上一定唯一存在一点O,使角AOB=AOC=BOC.

（2）这点O使|OA|+|OB|+|OC|最小.

只回答一个也不要紧。

第四题条件改为：ABC最大角不超过120度。

第四题的第一问发现很好证，

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2个回答

建议把分布在单位圆上的根画在图上以供参考.

记号wk = (cos 2pi/n+i*sin 2pi/n)^k

1：用韦达定理

（1+w)(1+w^2)...(1+w^n)

= (1+w1)(1+w2)...(1+wn)

= 1 + 两根互乘之和 + 三根互乘之和 + …… + N根互乘之和

由方程:w^n - 1 = 0

1 + 两根互乘之和 + 三根互乘之和 + …… + N根互乘之和

= 1 + N根互乘之和

= 1 + -1*(-1)^n

= 2 （因为n为奇数）

2.1：由于w^n = 1,得：

（1+w)(1+w^2)...[1+w^(n-1)] = 2

即：

{(1+w)[1+w^(n-1)]}{(1+w^2)[1+w^(n-2)]}……{[1+w^(n-1)/2][1+w^(n+1)/2]}=1

注意w^k和w^(n-k)互为共轭(建议画个单位圆即根的分布)

(1+w^k)*[1+w^(n-k)] = 1+w^n+w^k+w^(n-k) = {2*cos[pi*k/n]}^2 = {2*cos（a*k）}^2

可得{2cos a*2cos2a*...*2cos a(n-1)/2}^2 = 1

下面不用说了吧

2.3：（1+w)(1+w^2)...(1+w^n)

= (1+w1)(1+w2)...(1+wn)

w2的k次方一定是方程w^n = 1的根

当k取便n个值时由于n是奇数,但却不会出现重复,即：（1+w)(1+w^2)...(1+w^n) = 2 中w换成w2一样成立

同理可以得到{2cos2a*2cos4a*...*2cos a(n-1)}^2 = 1

注意式中各角度都在180度以内,画个图只要正负就好了,当然做几个图可以总结一下得到通式.

3：cos^2(t+ka) = 1/2*cos[2t+2ka]+1/2

只需从0到n-1对e^[2t+2ka],求和(实际上这个和为0）然后取实部就可以的到证明中最核心的部分

4：直接看费马点的证明就可以了

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