设非零数列xn满足(x1^2+x2^2+…+x(n-1)^2)*(x2^2+x3^2+…+xn^2)=(x1x2+x2x

设非零数列xn满足(x1^2+x2^2+…+x(n-1)^2)*(x2^2+x3^2+…+xn^2)=(x1x2+x2x3+…+x(n-1)xn)^2(n≥3)

(1)求证：x1,x2,x3成等比数列

(2)n≥3时,x1,x2,…xn是否成等比数列?证明你的结论.

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2个回答

将n=3的情况代入,可以得到（x1^2+x2^2）*（x2^2+x3^2）=（x1x2+x2x3）^2

当然,如果你知道柯西不等式,你就会明白这个式子取等的条件是x1/x2=x2/x3,即x1、x2、x3成等比数列,这里用反证法可能会简单一些.对于第二个式子,其实就是对第一个式子的推广,所以这里我提供一种柯西不等式的【不会超出高中内容】的证明方法,看在手打的份上,咳咳…………你懂得.

第一问：（x1^2+x2^2）*（x2^2+x3^2）=（x1x2+x2x3）^2两边打开移项后可得

x2^4+X1^2 x3^2=2x1 x2^2 x3

而由均值不等式,我们知道左边一定大于等于右边,当且仅当左边两项相等时取等

即可得到x1、x2、x3成等比数列的结论

第二问

我们设一个函数F(x)=(a1^2+a2^2+a3^2……+an-1^2)x^2-2(a1a2+a2a3+……+an-1an)x+(a2^2+a3^2+……+an^2)

其中a1、a2等随便取,将它们一项项拆开即可得到

F(x)=a1^2 x^2-2a1a2x+a2^2………………an-1^2 x^2-2an-1anx+an^2

发现了么?拆开后这些项都是完全平方形式,比如an-1^2 x^2-2an-1anx+an^2=(an-1x-an)^2

则F(x)作为许多完全平方式组成的式子必然大于等于零

而我一开始写的形式将它作为一个二次函数来看待

二次函数恒大于等于零的充要条件就是判别式小于等于零

即4(a1a2+a2a3+……+an-1an)^2小于等于4(a1^2+a2^2+a3^2……+an-1^2)(a2^2+a3^2+……+an^2)两边除以4,至此我们就完成了柯西不等式的证明

而等号成立条件从F(x)的完全平方式形式出发,不难看出就是a1x-a2=a2x-a3……=an-1x-an=0

就是a1/a2=a2/a3……=an-1/an=x

其中x我们并未规定取何值,在题目中它就是数列的公比,并不确定

将an换成xn,显然我们已经完成了原题的证明

这个证法有些难想,在实际操作或者是考试中,LZ不妨使用归纳法

但是据我所知这已经是柯西不等式最简单的证明之一了

祝LZ生活顺利…………（我刚刚从高考解脱）

以上

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