设函数f（x）=3ax2+2bx+c，且有a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0．
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解题思路：（I）由a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，消去b，得a＞c＞0，消去c，得a+b＜0，2a+b＞0，即-2a＜b＜-a，进而可得a＞0，且-2＜ba＜-1；（Ⅱ）抛物线f（x）=3ax2+2bx+c的顶点为(-b3a，3ac-b23a)，结合（1）中结论，可得-b3a∈(0，1)且f（0）＞0，f（1）＞0，f(-b3a)=-a2+c2-ac3a＜0，且图象连续不断，由函数零点存在定理可得结论．
证明：（Ⅰ）∵函数f（x）=3ax2+2bx+c，f（0）＞0，f（1）＞0，
∴c＞0，3a+2b+c＞0，…（2分）
由条件a+b+c=0，消去b，得a＞c＞0；
由条件a+b+c=0，消去c，得a+b＜0，2a+b＞0，即-2a＜b＜-a，…（5分）
∴-2＜
b
a＜-1； …（6分）
（Ⅱ）抛物线f（x）=3ax2+2bx+c的顶点为(-
b
3a，
3ac-b2
3a)，
由-2＜
b
a＜-1，得[1/3＜-
b
3a＜
2
3]，即有-
b
3a∈(0，1)，…（8分）
又∵f（0）＞0，f（1）＞0，f(-
b
3a)=-
a2+c2-ac
3a＜0，且图象连续不断，
∴函数y=f（x）在区间(0，-
b
3a)与(-
b
3a，1)内分别有一个零点，
故函数y=f（x）在（0，1）内有两个不同的零点．…（12分）
点评：
本题考点： 二次函数的性质；函数零点的判定定理．
考点点评： 本题考查的知识点是函数零点的判定定理，二次函数的图象和性质，综合性强，运算强度大，属于中档题．
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