证明：1、显然当n=1时左边=1*3=3,右边=[(2*1-1)(2*1+1)(2*1+3)+3]*1/6=3,左边=右边成立；
假设当n=k时等式成立,也即有
1*3+3*5+5*7+……+(2k-1)(2k+1)=[(2k-1)(2k+1)(2k+3)+3]*1/6成立,则
当n=k+1时,左边=1*3+3*5+5*7+……+(2k-1)(2k+1)+(2k+1)(2k+3)
=[(2k-1)(2k+1)(2k+3)+3]*1/6+(2k+1)(2k+3)
=[(2k-1)(2k+1)(2k+3)+6*(2k+1)(2k+3)+3]*1/6
={(2k+1)[(2k-1)(2k+3)+6*(2k+3)+3]}*1/6
=[(2k+1)(4k^2+4k-3+12k+18)+3]*1/6
=[(2k+1)(4k^2+16k+15)+3]*1/6
=[(2k+1)(2k+3)(2k+5)+3]*1/6=右边成立
故对所有的n∈N都有等式成立.
2、当n=1时有[2^1-(-1)^1]*1/3=1为单数；当n=2时有[2^2-(-1)^2]*1/3=1为单数.
假设当n=k时有[2^k-(-1)^k]*1/3为单数.
则当n=k+2时,有
[2^(k+2)-(-1)^(k+2)]*1/3=[4*2^k-(-1)^k]*1/3=[3*2^k+2^k-(-1)^k]*1/3
=[2^k-(-1)^k]*1/3+2^k
因[2^k-(-1)^k]*1/3为单数,2^k为双数,故
[2^(k+2)-(-1)^(k+2)]*1/3=[2^k-(-1)^k]*1/3+2^k为单数.
于是对所有n∈N均有[2^n-(-1)^n]*1/3 是一个单数.
不明白请追问.
第二问亦可直接这样证明：
当n=1时有[2^1-(-1)^1]*1/3=1为单数.
假设当n=k时有[2^k-(-1)^k]*1/3为单数.
则当n=k+1时,有
[2^(k+1)-(-1)^(k+1)]*1/3=[2*2^k+(-1)^k]*1/3=[3*2^k-2^k+(-1)^k]*1/3
=-[2^k-(-1)^k]*1/3+2^k
因[2^k-(-1)^k]*1/3为单数,2^k为双数,故
-[2^k-(-1)^k]*1/3+2^k为单数.
于是对所有n∈N均有[2^n-(-1)^n]*1/3 是一个单数.
不明白请追问.
