如图,菱形ABCD的边长为2cm,角DAB=60度,点P从A点出发,以根号3cm/s的速度运动,当P运动到C点时,P.Q

如图,菱形ABCD的边长为2cm,角DAB=60度,点P从A点出发,以根号3cm/s的速度运动,当P运动到C点时,P.Q...

如图,菱形ABCD的边长为2cm,角DAB=60度,点P从A点出发,以根号3cm/s的速度运动,当P运动到C点时,P.Q都停止运动,点P运动时间为ts.

(1)当P异于A.C时,请说明PQ//BC.

(2)以P为圆心,PQ长为半径作圆,请问：在整个运动过程中.t为怎样的值时,圆P与边BC分别有1个公共点和2个公共点?

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1个回答

（1）∵四边形ABCD是菱形,且菱形ABCD的边长为2cm,

∴AB=BC=2,∠BAC=∠DAB,

又∵∠DAB=60°（已知）,

∴∠BAC=∠BCA=30°；

如图1,连接BD交AC于O．

∵四边形ABCD是菱形,

∴AC?BD,OA=AC,

∴OB=AB=1（30°角所对的直角边是斜边的一半）,

∴OA=,AC=2OA=2,

运动ts后,

∴

又∵∠PAQ=∠CAB,

∴△PAQ∽△CAB,

∴∠APQ=∠ACB（相似三角形的对应角相等）,

∴PQ∥BC（同位角相等,两直线平行）

（2）如图2,⊙P与BC切于点M,连接PM,

则PM⊥BC．

在Rt△CPM中,∵∠PCM=30°,

∴PM=PC=

由PM=PQ=AQ=t,即=t

解得t=4﹣6,此时⊙P与边BC有一个公共点；

如图3,⊙P过点B,此时PQ=PB,

∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°

∴△PQB为等边三角形,

∴QB=PQ=AQ=t,

∴t=1

∴时,⊙P与边BC有2个公共点．

如图4,⊙P过点C,此时PC=PQ,即2t=t,

∴t=3﹣．∴当1≦t≦3﹣时,⊙P与边BC有一个公共点,

当点P运动到点C,即t=2时,⊙P过点B,

此时,⊙P与边BC有一个公共点,

∴当t=4﹣6或1＜t≦3﹣或t=2时,⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；

当4﹣6＜t≦1时,⊙P与边BC有2个公共点．

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