一道类似于斐波那挈数列的数学题一只小猴爬梯,由下向 - 已解决

一道类似于斐波那挈数列的数学题一只小猴爬梯,由下向上爬,每次可以爬一级或两级或三级台阶.若梯子有一级,则小猴有一种爬法；

2个回答

若梯子有1级,则小猴有1种爬法；

若梯子有2级,则小猴有2中爬法；

若梯子有3级,则小猴有4种爬法;

若梯子有 4级,那么有 1 + 2 + 4 = 7 种爬法

也就是说,

它可以先爬上 1级,然后直接到达第4级梯子 (这种方法的数量 = 它爬上1级梯子的方法数)

它也可以先爬上 2级,然后直接到达第4级梯子 (这种方法的数量 = 它爬上2级梯子的方法数)

它还可以先爬上 3级,然后直接到达第4级梯子 (这种方法的数量 = 它爬上3级梯子的方法数)

综上所述,对于第n级梯子

它可以先爬上 n-3 级,然后直接到达第n级梯子 (这种方法的数量 = 它爬上第n-3级梯子的方法数)

它也可以先爬上 n-2级,然后直接到达第n级梯子 (这种方法的数量 = 它爬上n-2级梯子的方法数)

它还可以先爬上 n-1级,然后直接到达第4级梯子 (这种方法的数量 = 它爬上n-1级梯子的方法数)

因此这个数列的递推公式是:

a1 = 1

a2 = 2

a3 = 4

a(n) = a(n-1) + a(n-2) + a(n-3)

那么

a4 = 1 + 2 + 4 = 7

a5 = 2 + 4 + 7 = 13

a6 = 4 + 7 + 13 = 24

a7 = 7 + 13 + 24 = 44

----------------------

当然,理论上存在通项公式 .

可以想象,其推导过程必然比斐波那挈数列的推导过程还难.这将是另外一个问题了.

按递推公式计算,也并不太麻烦.而即使存在通向公式,也反而比较麻烦,比如斐波那挈数列,按通项公式计算时候要涉及到烦琐的二项式展开.因此反而不如递推公式更简洁了.