原谅这个解法,咱奥赛的.
先介绍一个定理:梅涅劳斯(Menelauss)定理
梅涅劳斯(Menelaus)定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.它指出:如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1.
证明:
过点A作AG‖BC交DF的延长线于G,
则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG.
三式相乘得:(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1
http://baike.baidu.com/view/148234.htm有很详细的
另外,容易证明,共顶点及该顶点所对底边共线的三角形面积等于该底边之比(因为高相等)
回到原题,连接ED,易知S△AED=1/3 S△ACD=1/15 S△ABC,又依Menelauss定理有(AE/EC)*(GD/AG)*(BC/DB)=1,解得AG/GD=2/5,所以S△AGE=2/7 S△AED,即S△AGE=2/105,同理可得 S△BFH=1/36,又易知S△AEB=1/3S△ABC=1/3,所以S四边形AFHG=S△AEB-S△AGE-S△BFH=1/3-2/105-1/36=25/84
希望没有计算错误,不过解法肯定是对的.
还可以用向量法,我同学整出来了,我没去试