端点可以有导数也可以没有导数,在端点没有导数时微分中值定理仍然成立,以拉格朗日中值定理为例,f(x)=|x|,我们知道它在x=0处不可导,现在考察区间[0,1],由于f(x)满足在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,我们来验证拉格朗日中值定理成立,即f(1)-f(0)=f'(ζ)(1-0),也就是f'(ζ)=1,事实上f(x)在(0,1)内的导数恒等于1,因此ζ可取(0,1)内任一值,由此可以看出,微分中值定理在区间端点不可导时仍然成立.
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