如图，AC是正方形ABCD的对角线，点O是AC的中点，点Q是AB上一点，连接CQ，DP⊥CQ于点E，交BC于点P，连接O
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解题思路：（1）根据正方形的性质和DP⊥CQ于点E可以得到证明△BCQ≌△CDP的全等条件；
（2）根据（1）得到BQ=PC，然后连接OB，根据正方形的性质可以得到证明△BOQ≌△COP的全等条件，然后利用全等三角形的性质就可以解决题目的问题．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD，（2分）
∴∠2+∠3=90°，
又∵DP⊥CQ，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3，（4分）
在△BCQ和△CDP中，
∠B＝∠PCD
BC＝CD
∠1＝∠3．
∴△BCQ≌△CDP．（5分）
（2）连接OB．
（6分）
由（1）：△BCQ≌△CDP可知：BQ=PC，（7分）
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
而点O是AC中点，
∴BO＝
1
2AC＝CO，∠4＝
1
2∠ABC＝45°＝∠PCO，（9分）
在△BOQ和△CDP中，
BQ＝CP
∠4＝∠PCO
BO＝CO．
∴△BOQ≌△COP，
∴OQ=OP．（10分）
点评：
本题考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
考点点评： 解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，利用它们构造证明全等三角形的条件，然后通过全等三角形的性质解决问题．
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