高难度数学题16位同学参加数学竞赛,有A B C D四个选项,其中任何两人至多只有一题答案相同,请问最多有几题?A 3
1个回答

因为任何两人至多只有一题答案相同,所以可知

相同答案的对数的最大数M=C(16,2)=16*15/2=120 对

16个人做一个选择题相同答案对数的最小数,应该是每个答案均有人选,且选每个答案的人数相等的时候,所以

做一个选择题相同答案的对数的最小数N=4*C(4,2)=24 对

所以题目的最大量 T=120/24=5

选 C

关于“每个答案均有人选,且选每个答案的人数相等的时候,做一个选择题相同答案对数最少”的证明:

证明:设选A,B,C,D的人数分别为a,b,c,d

由题意知 a+b+c+d=16

相同答案的对数T=C(a,2)+C(b,2)+C(c,2)+C(d,2)

=[a*(a-1)+b*(b-1)+c*(c-1)+d*(d-1)]/2

=(a^2+b^2+c^2+d^2-a-b-c-d)/2

=(a^2+b^2+c^2+d^2-16)/2

=(a^2+b^2+c^2+d^2)/2-8

因为 a^2+b^2+c^2+d^2