已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．
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解题思路：（1）用待定系数法先设函数f（x）的解析式，再由已知条件求解未知量即可

（2）只需保证对称轴落在区间内部即可

（3）转化为函数求最值问题，即可得到个关于变量m的不等式，解不等式即可

（1）由已知∵f（x）是二次函数，且f（0）=f（2）

∴对称轴为x=1

又最小值为1

设f（x）=a（x-1）2+1

又f（0）=3

∴a=2

∴f（x）=2（x-1）2+1=2x2-4x+3

（2）要使f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，则2a＜1＜a+1

∴0＜a＜

1

2

（3）由已知2x2-4x+3＞2x+2m+1在[-1，1]上恒成立

化简得m＜x2-3x+1

设g（x）=x2-3x+1

则g（x）在区间[-1，1]上单调递减

∴g（x）在区间[-1，1]上的最小值为g（1）=-1

∴m＜-1

点评：

本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题考查待定系数法和二次函数的单调性和最值，须注意恒成立问题的转化．属简单题

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