如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，sin∠ABC=32．
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（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵sin∠ABC=
3
2，
∴∠ABC=60°，
∴∠A=30°，AB=2BC=4cm，
∴OA=
AB
2=
4
2=2cm，即r=2cm；
（2）①当EF⊥BC时．
因为AB为⊙O直径，
所以∠C=90°，
当EF⊥BC，
则有△EBF∽△ABC，
于是
BF
BC=
BE
BA，
即
t
2=
4−2t
4，
解得t=1．
②当EF⊥AB时．
则有△EBF∽△BCA，
于是
EB
CB=
BF
AB，
即
t
4=
4−2t
2，
解得t=
8
5．
所以，当t=1s或
8
5s时，△BEF为直角三角形．
（3）作△BFE的BE边上的高FG．
则FG=BF•sin∠ABC=
3
2t．
S△EFB=
1
2EB•FG=
1
2（4-2t）
3
2t=-
3
2t2+
3t，
当t=-
3
2×(−
3
2)=1时，S△EFB取得最大值，为S最大=-
3
2+
3=
3
2．
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