已知函数f(x)=(1+ln(x+1))/x,(x>0),求证：（1+1·2）（1+2·3）（1+3·4）···（1+n
2个回答

（1+1·2）（1+2·3）（1+3·4）···（1+n(n+1)）>e^(2n-3)

不等式两边同时取以e为底的对数得

ln(（1+1·2）（1+2·3）（1+3·4）···（1+n(n+1)）)＞2n-3

即ln(1+1·2)+ln(1+2·3)+……+ln(1+n(n+1))＞2n-3

可以利用数学归纳法证明

①当n=1时 左边=ln3＞0 右边=-1

显然成立

②当n=2时 左边=ln3+ln7=ln21 右边=1 显然不等式成立

③假设n=k-1时成立 k≥3

即ln(1+1·2)+ln(1+2·3)+……+ln(1+(k-1)k)＞2k-5

那么n=k时

ln(1+1·2)+ln(1+2·3)+……+ln(1+k(k+1))

=ln(1+1·2)+ln(1+2·3)+……+ln(1+k(k-1))+ln(1+k(k+1))

＞2k-5+ln(1+k(k+1))

∵当k≥3时 ln(1+k(k+1))＞2

∴ln(1+1·2)+ln(1+2·3)+……+ln(1+k(k+1))

＞2k-5+2=2k-3

也满足不等式

综上所述ln(1+1·2)+ln(1+2·3)+……+ln(1+n(n+1))＞2n-3成立 n≥1

这道题我不太清楚为什么给个函数 可能没发现其用处

希望我的证法能给你启发.

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