数学上的欧拉定理是什么?谢谢
1个回答

欧拉定理

(1)背景:欧拉公式的背后是一门新的几何学,这种新的几何学只研究图形各部分位置的相对次序,而不考虑图形尺寸大小,这就是由莱布尼兹和欧拉共同奠基的“橡皮膜上的几何学”(位置几何学),如今这门学科已经发展成数学的一个重要的分支——拓扑学.

(2)历史:有关凸多面体最有趣的定理之一是欧拉公式“V-E+F=2”,其实大约在1635年笛卡尔就早已发现了它.欧拉在1750年独立地发现了这个公式,并于1752年发表了它.由于笛卡尔的研究到1860年才被人们发现,所以这个定理就称为欧拉公式而不是笛卡尔公式.

欧拉,出生在瑞士的巴塞尔(Basel)城,13岁就进巴塞尔大学读书,得到当时最有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667-1748年)的精心指导.

欧拉在数学上的建树很多,对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究.欧拉还发现,不论什么形状的凸多面体,其顶点数V、棱数E、面数F之间总有V-E+F=2这个关系.V-E+F 被称为欧拉示性数,成为拓扑学的基础概念.以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见,与此同时,他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就.欧拉还创设了许多数学符号,例如π(1736年),i(1777年),e(1748年),sin和cos(1748年),tg(1753年),△x(1755年),∑(1755年),f(x)(1734年)等.

1733年,年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授.1735年,欧拉解决了一个天文学的难题(计算慧星轨道),这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决,而欧拉却用自己发明的方法,三天便完成了.然而过度的工作使他得了眼病,并且不幸右眼失明了,这时他才28岁.

欧拉的一生,是为数学发展而奋斗的一生,他那杰出的智慧,顽强的毅力,孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德,永远是值得我们学习的.

欧拉公式有4条

(1)分式:

a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)

当r=0,1时式子的值为0

当r=2时值为1

当r=3时值为a+b+c

(2)复数

由e^iθ=cosθ+isinθ,得到:

sinθ=(e^iθ-e^-iθ)/2i

cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2

(3)三角形

设R为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则:

d^2=R^2-2Rr

(4)多面体

设v为顶点数,e为棱数,是面数,则

v-e+f=2-2p

p为欧拉示性数,例如

p=0 的多面体叫第零类多面体

p=1 的多面体叫第一类多面体