同一法是解决充要性命题的常用方法
(1)已知因为I是三角形ABC的内心,
所以角BIC=角ABI+角ACI+角BAC=1/2角B+1/2角C+角A=90度-1/2角A+角A=90度+1/2角A 角AIC=90度+1/2角B同理可证
(2)已知角BIC=90度+二分之一角A,角AIC=90度+二分之一角B
假设I不是三角形ABC的内心,不妨设内心为点T则做三角形BCT外接圆
因为角BIC=角BTC=90度+1/2角A(由(1)可知)
又根据圆的集合性意义可知点I在圆弧BTC上,即在三角形BCT外接圆上
同理可知点I在三角形ACT外接圆上
所以I是三角形BCT外接圆与三角形ACT外接圆的交点
因为A,T也是I是三角形BCT外接圆与三角形ACT外接圆的交点
所以与两圆最多有两个交点矛盾,所以I与T是同一点为内心,得证
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