已知函数f（x）=x2+aln x．

已知函数f（x）=x2+aln x．

（I）当a=-2时，求函数f（x）的极值；

（II）若g（x）=f（x）+[2/x]在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．

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解题思路：（I）求出f（x）的导函数，列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，求出单调区间及函数的极值．

（II）令g（x）的导数大于等于0恒成立，分离出参数a，构造新函数，通过导数求出新函数的最小值，令a大于等于最小值即得到a的范围．

（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）

当a=-2时，f′(x)＝2x−

2

x＝

2(x+1)(x−1)

x

当x变化时，f′（x），f（x）的值变化情况如下表

由上表可知，函数f（x）单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）

极小值是f（1）=1，没有极大值

（2）由g(x)＝x2+alnx+

2

x得g′(x)＝2x+

a

x−

2

x2

因为g（x）在[1，+∞）上是单调增函数

所以g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立

即不等式2x+

a

x−

2

x2≥0在[1，+∞）上恒成立即a≥

2

x −2x2在[1，+∞）上恒成立

令∅(x)＝

2

x−2x2则∅′(x)＝−

2

x2−4x当x∈[1，+∞）时，∅′(x)＝−

2

x2−4x＜0

∴∅(x)＝

2

x−2x2在[1，+∞）上为减函数

∅（x）的最大值为∅（1）=0

∴a≥0

故a的取值范围为[0，+∞）

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系．

考点点评： 求使函数单调的参数的范围时，若函数单增则令其导数大于等于0恒成立；若单减，则令其导数小于等于0恒成立．

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