（2005•杭州二模）一元二次方程mx2+（2m-3）x+（m-2）=0的两个实数根为tanα和tanβ．
1个回答
解题思路：（1）利用二次方程有两个不等根，令判别式大于0，二次项系数非0，解不等式求出m的范围．
（2）利用韦达定理求出tanα+tanβ，tanαtanβ，利用两角和的正切公式求出tan（α+β）是关于m的一次函数，求出tan（α+β）的取值范围及其最小值．
（1）由方程有实根，得
△＝(2m−3)2−4m(m−2)≥0
m≠0，（2分）
所以m的取值范围为m≤
9
4且m≠0；（2分）
（2）由韦达定理tanα+tanβ＝
3−2m
m，tanαtanβ＝
m−2
m，（2分）
代入和角公式，得tan(α+β)＝
tanα+tanβ
1−tanαtanβ＝
3−2m
2＝
3
2−m≥
3
2−
9
4＝−
3
4，（4分）
所以tan（α+β）的取值范围为[−
3
4，
3
2)∪(
3
2， +∞)，最小值为−
3
4．（2分）
点评：
本题考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系；两角和与差的正切函数．
考点点评： 判断一元二次方程的根的个数的方法是利用判别式的符号；考查了一元二次方程的根与系数的关系即韦达定理．
相关问题
