几道高二数学题,求助设O是坐标原点,F是抛物线y^2=2px(p>0)的焦点,A是抛物线上的一点,向量FA与x轴正
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（1）.

∵向量FA与x轴正向夹角为60°,

∴直线FA的斜率k=tan60°=√3,且A在F的右侧.

∴直线FA的方程是：y=√3(x-p/2)

将直线方程代入y²=2px

∴3(x-p/2)²=2px

∴3x²-3px+3p²/4 = 2px

∴ 12x²-20px+3p²=0

∴ (6x-p)(2x-3p)=0

∴ x=p/6或x=3p/2

∵ A在F右侧

∴ xA=3p/2,∴ yA=√3p

∴ |OA|=√(9p²/4+3p²)=√(21p)/2

（2）

F为抛物线C:y^2=4x的焦点,F（1,0）,OF=1

AB的中点为M(2,2)

yA+yB=2yM=4

直线AB:y-2=k(x-2)

x=(y+2k-2)/k

y^2=4x=4*(y+2k-2)/k

ky^2-4y+8-8k=0

yA+yB=4/k

4/k=4

k=1

直线AB:y=x,经过原点O（0,0）

设xA=yA=0,xB=yB=4

方法一:

三角形ABF的面积=|OF|*|yB|/2=1*4/2=2

方法二:

AB=√(xB^2+yB^2)=√4^2+4^2)=4√2

点F(1,0)到直线AB的距离:L=1/√2

三角形ABF的面积=AB*L/2=4√2*(1/√2)/2=2

（3）

设过（4,0）的直线为 y=k(x-4),

联立y^2=4x

得(k^2)x^2-(8k^2+4)x+4k^2=0

于是y1^2+y2^2=4x1+4x2=4(x1+x2)=4(8k^2+4)/k^2=4(8+4/k^2)

=32+8/k^2.

显然,当K→∞,8/k^2→0,即当AB所在的直线⊥OX轴时Y1^2+Y2^2最小值是32

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