设函数的定义域为(0,+∞）,且对任意的正实数x,y,有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(1/2)=1,且当
3个回答
（1） ∵ 正实数x,y,有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立
又 ∵ f(1/2)=1
∴ f(1/2)=f(1*1/2)=f(1)+f(1/2)=1
∴ f(1)=0
（2）令0＜x1＜x2＜+∞
由题已知f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,以及（1）中f(1/2)=1,f(1)=0,可得,f(x)=log(1/2)（x） (以1/2为底x的对数)
∵ a=1/2,0＜1/2＜1,则f(x1)-f(x2)=log(1/2)(x1/x2)＞0
∴ 函数f(x)在（0,+∞）上是减函数.
（3）∵ f(x)+f(x-3/4)＜2
即 log(1/2)(x)+log(1/2)(x-3/4)=log(1/2)[x*(x-3/4)]=log(1/2)(x²-3x/4)＜2
∴ x²-3x/4＞(1/2)²
(x-3/8)²＞1/4+9/64=25/64
∴ x-3/8＜-5/8 或 x-3/8＞5/8
即 x＜-1/4 或 x＞1
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